Nato a Parigi nel 1964, dopo gli studi di filosofia all'Ecole Normale Supérieure, nel 1987 è entrato all'Ecole du Théâtre National du Chaillot diretta da Antoine Vitez. Ha debuttato alla regia nel 1988 al Festival d'Alès con Woyzeck di Büchner, messo in scena con la sua compagnia Théâtre-Machine. Considerato un enfant prodige, Braunschweig rappresenta uno dei registi più interessanti della nuova generazione francese.

Il 1997 è la consacrazione europea con Measure for measure di William Shakespeare su commissione del Festival di Edimburgo per l'edizione del cinquantenario. Dans la jungle des villes di Brecht (1997-98) è l'ultimo spettacolo messo in scena per il Centre dramatique national d'Orléans, del quale ha lasciato la direzione nel luglio 1998. In seguito è diventato diretto del Théâtre National de Strasbourg.